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考试大纲

013

数学科学学院

数学专业综合

    常微分方程（占35%）： 一、微分方程的基本概念；二、一阶常微分方程的初等解法：
分离变量方程与变量代换、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程与参数表示；三、一阶微分方程解的存在定理：解的存在惟一性定理与逐步逼近法、解的延拓；四、高阶微分方程：线性微分方程的一般理论、常系数线性微分方程的解法、高阶微分方程的降阶；五、线性微分方程组：解的存在惟一性定理、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组。

013

数学科学学院

数学专业综合

复变函数35%：复数, 复变函数的解析性和积分,级数理论,留数定理及其应用.

013

数学科学学院

数学专业综合

      概率论（占30%）：一、事件与概率：基本事件、事件运算、概率空间、概率的性质、古典概型及概率计算、几何概率；二、条件概率与独立性：条件概率、全概率与贝叶斯公式、事件的独立性判断及应用、概率乘积公式、贝努利试验与贝努利随机序列、二项分布与泊松分布；三、随机变量及其分布：分布及其性质、常见随机变量的类型及其分布、离散均匀分布、0-1分布、二项分布、泊松分布、负二项分布、超几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布、伽马分布、随机变量函数的分布、随机变量和差商的分布等、二维及高维随机变量的联合分布、边际分布与条件分布、分布的可加性质；四、随机变量的数字特征与特征函数：随机变量的数学期望、条件数学期望、数学期望的性质、随机变量的方差、数字特征的意义、随机变量特征函数及其性质、随机变量的矩母函数及其性质、随机变量的矩；五、极限定理：贝努利大数定律和中心极限定理。

013

数学科学学院

线性代数与概率论综合

一、行列式：行列式的定义与性质、克拉默法则；二、矩阵：矩阵的运算及其性质、伴随矩阵、可逆矩阵、逆矩阵及其性质、正定矩阵，矩阵的分块、矩阵的秩、矩阵的等价、矩阵的相似，方阵的特征值与特征向量；矩阵的合同关系，矩阵的对角化；三、线性方程组：消元法、线性方程组解的判定定理、线性方程组解的结构、矩阵方程；四、向量空间：向量的线性相关与线性无关、向量组的秩，子空间、子空间的基与维数，线性变换、基变换与坐标变换、线性变换与矩阵，向量空间的同构；不变子空间，核空间与像空间；五、内积空间：向量的内积、长度、正交等概念及性质、标准正交基、正交变换。六、二次型：二次型的标准型，正定二次型；七、事件与概率：基本事件、事件运算、概率空间、概率的性质、古典概型及概率计算、几何概率；八、条件概率与独立性：条件概率、全概率与贝叶斯公式、事件的独立性判断及应用、概率乘积公式、贝努力试验与贝努力随机序列、二项分布与泊松分布；九、随机变量及其分布：分布及其性质、常见随机变量的类型及其分布、随机变量函数的分布、随机变量和差商的分布等、二维及高维随机变量的联合分布、边际分布与条件分布、分布的可加性质；十、随机变量的数字特征与特征函数：随机变量的数学期望、条件数学期望、数学期望的性质、随机变量的方差、数字特征的意义、随机变量特征函数及其性质、随机变量的矩母函数及其性质、随机变量的矩；十一、极限定理：贝努力大数定律和中心极限定理。

013

数学科学学院

初等数学研究

1 初等数学的含义
 初等数学问题及其解决

2 数的理论
1 数的历史
1.1 16世纪之前的数
1.2 16、17世纪的数
1.3 18世纪之后的数
2 1与自然数
2.1 自然数的基数理论
2.2 正整数的序数理论
3 科学的数系
3.1 数系扩充的原则
3.2 整数集
3.3 有理数集
3.4 实数的定义
3.5 一元数的推广——复数
3.6 数系的性质

3 函数的理论
1 式的定义
2 式的恒等变换
2.1 解析式的定义域与值域
2.2 多项式的恒等变换
2.3 一类多元多项式的因式分解
2.4 分式恒等变换
2.5 根式的转化
2.6 加法与乘法运算的统一体现——指数与对数
2.7 三角式的恒等变换
3 函数的定义
3.1 函数的定义
3.2 函数的分类
3.3 基本初等函数的公理化定义
3.4 函数基本性质的讨论
4 数值函数（一）——方程与不等式
4.1 方程与不等式
4.2 同解变形
4.3 多项式方程与不等式
4.4 一元二次方程及不等式的解
4.5 一元三次、四次方程的公式解
4.6 特殊的整式方程解法举例
4.7 函数方程举例
4.8 基本不等式及其应用举例
5 数值函数（二）——数列
5.1 基本数列
5.2 由基本数列得到的数列
5.3 可化为基本数列的数列举例

4 几何变换
1 反射变换与合同变换
1.1 几何学与变换群
1.2 反射变换
1.3 反射变换的积
1.4 合同变换
1.5 运用合同变换解题例说
2 合同变换的推广——相似变换
2.1 合同变换的推广
2.2 相似变换的性质
2.3 特殊的相似变换——位似变换
2.4 运用相似变换解题例说
3 位似变换的引申——反演变换
3.1 反演变换
3.2 运用反演变换解题例说
4 初等几何中的其他变换
4.1 等距变换
4.2 拓扑变换

5 几何解题思路
1 基本图形、基本性质和基本量
1.1 平面基本图形
1.2 空间基本图形
1.3 基本图形的问题解决
2 解决几何问题的基本方法
2.1 几何方法
2.2 代数方法
2.3 量方法
2.4 面积方法
2.5 解析方法
3 几何问题的解决
4 几何图形的存在性
4.1 几何轨迹
4.2 几何作图

6 初等的组合数学
1 两个基本原理
1.1 两个基本原理与排列组合
1.2 排列组合问题例说
2 多项式定理与组合恒等式
2.1 多项式定理
2.2 组合恒等式
3 组合数学中的三个原理
3.1 容斥原理
3.2 抽屉原理
3.3 富比尼原理